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有理数和无理数(从有理数与无理数的比较开始)

有理数和无理数(从有理数与无理数的比较开始)

有理数有无数个

无理数也有无数个

那谁更多?还是一样多?

无穷与无穷,是否可以比出谁多谁少?

数轴上的点对应有理数或无理数?

那有理数和无理数又是如何在数轴上分布?


NO.1如何比较无穷


当我们比较有限的数量时,只要比较具体的数字谁大即可。鸡有两条腿,兔有四条腿,所以兔子腿更多。有理数有无数个,无理数也有无数个,或许我们可以认为是都是无数个,都是数不完的,那就一样多呗,但实际上无限也可以分出大小,因为比较有限数量的方法并不能用于无穷的情况。


如何比较无穷?

有理数和无理数(从有理数与无理数的比较开始) 投稿 第1张


所有的正数和负数一样多。


在正数集里任取一个正数,在负数集合里都能找到唯一确定的一个负数与其相对应,比如正数集中取1,负数集里会有-1,正数集里取,负数集里会有-,有一个正数,就会有一个相应的负数。


我们可以在正数集和负数集间建立一种一一对应的关系。所以正数与负数是一样多。


同样的道理,我们可以得出奇数和偶数是一样多的。


任取一个奇数2n-1,都会有一个偶数2n与其相对应,同样我们可以在奇数集和偶数集之间建立这种一一对应的关系,所以奇数和偶数也是一样多的。

有理数和无理数(从有理数与无理数的比较开始) 投稿 第2张


我们把集合里元素的数量称为集合的基数,比如集合{1}的基数为1,集合{1,2}的基数为2。


判断无穷集合基数相等的方法便是:能够两个集合之间建立起一种一一对应的关系。


NO.2整体可以等于部分


如果关于无穷的比较都像上面那么简单就好了,接下来我们继续看。


所有的偶数和所有的整数一样多。


What?偶数不是和奇数一样多吗?奇数和偶数一起构成了整数,偶数怎么和整数也一样多了?


整数集合里任取一整数n,在偶数集合里都会有一个数2n与其相对应,所以我们依然可以在整数集和偶数集之间建立起一一对应的关系,在偶数集里任取一个偶数,在整数集里都会有一个唯一确定的元素与其相对应。

有理数和无理数(从有理数与无理数的比较开始) 投稿 第3张


整体等于部分!这是我们在有限里不可能存在的情况,但在无穷集合里,却真真实实地发生了。


如果对于数没感觉我们再来看个图形的例子,在△ABC中,假定BC边为2,DE是BC边所对的中位线,所以DE=1,在BC边上任取点M,连接AM,则AM必与DE有一交点,记为N。任取一个M点都会有一个N点与其相对应。


这说明:长度为2的线段上的点与长度为1的线段上的点是一样多的!!!

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格奥尔格康托尔甚至以此作为无穷集合的定义:如果一个集合能够和它的一部分构成一一对应的关系,它就是无穷集合。

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了解了无穷这一性质,那我们得出这么一个结论:自然数、偶数、整数都是一样多的。或许你会质疑既然他们都无穷,那就数量都一样呗,还需要讨论这么多嘛?


需要,之所以说这几个集合基数相等,是因为它们还有一个共同的特点:可数。


所谓可数,可以理解为能够找到一种规则把所有的数列出来,然后就可以按着这个顺序一直数下去。

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比如自然数,0,1,2,3,4,5……,比如偶数,0,2-2,4-4,6-6……而只要能全部列出来,就可以建立一一对应的关系,依次按顺序对应就好了,甚至都不用弄明白具体的规则是什么,所以只要是可数无穷,就可以说集合里元素数量是一样多的。

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NO.3有理数可数吗?

可数


有理数可以表示为q/p的形式,取正有理数部分,我们可以按p+q的值由小到大来列出所有正有理数,具体的顺序可以参照下图。

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按上述规则,可列出所有正有理数,负有理数亦可以列出来。


所以有理数集也是可数集。


补充一下可数集概念:能与自然数集建立一一对应关系的集合。


可数集的基数是最小的无穷量,康托尔把这个量记为ℵ0(希伯来文,读作“阿列夫零”)。同时康托尔指出,阿列夫零是最小的无穷量,那比阿列夫零更大的无穷在哪呢?


NO.4上场吧!无理数


无理数可数吗?或者说实数可数吗?


答案是:NO


康托尔运用对角线法来论证这一点,证明过程很短,却堪称精妙绝伦!(妈妈问我为何跪下看书系列)


考虑整个实数集是否可数,我们先考虑0-1之间的所有实数是否可数。假设存在某种规则能够列出0-1之间的所有实数:

0.1598545445……

0.6589745454……

0.5968974132……

0.9887946456……

0.3521587487……

0.1659842412……

……

以百思特网上的数随便写的,此时康托尔问,0.267865……在什么位置?


这个数是怎么取的呢?取第一个数的第一位小数加1,取第二个数的第二位小数加1,取第三个数的第三位小数加1,取第四个数的第四位小数加1……,也就是上面数中红色的数字加1。


假如0.267865……在第n个位置上,则它的第n位小数应该等于第n个数(也就是它自身)的第n位小数加1。


简单说,这个数的第n位小数等于它本身第n位小数加1。显然这是不可能存在的!

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所以不存在任何一种方法能够把0-1之间所有的实数全部列举出来,当然也不可能存在一种方法能够把全体实力列出来。


像这样的无穷称为不可数无穷,不管你承认还是不承认,同样是无穷,也能分出不同种类。无理数集、实数集称为不可数集。


在数轴上任取一段线段,由这些连续着的点构成的集合均为不可数集,又称连续统。基数记为c。


NO.5 c=ℵ1


既然已经明确了有理数代表着可数无穷,而无理数则代表着不可数无穷,那可数与不可数到底谁更多呢?换句话说,ℵ0与c谁更大呢?


事实上,从概率的角度来看,在数轴上任取一点,取到有理数的概率为0。


无理数是无限不循环小数,有理数包含整数、有限小数和无限循环小数,我们可以把整数和有限小数看成后面的小数位均为0的数,举个例子,1.8=1.800000……,后面的小数位都是0。


现在我们给一个数填充小数位,有无数个小数位需要我们填充,而填充的数字都是随机取的,所以说都取0或者说取到一列循环数的概率为0。借助于这样一个想法,无理数不仅比有理数多,而且多得多!


怎么样能够比无穷还要多?


对于集合{1},它有两个子集:空集、{1},子集组成的集合的基数为2^1;对于集合{1,2},它有四个子集空集、{1}、{2}、{1,2},子集组成的集合的基数为2^2,以此类推,若一个集合的基础为n,则其子集构成的幂集基数是2^n。


那如果原集合的基数是ℵ0呢?


事实上,康托尔已经证明出,c=2^ℵ0,这里的ℵ0是无穷大的,所以能想象c有多大吗?

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康托尔所做的事情不止于此,他还猜想,在ℵ0和c之间不存在其他的无穷,即在ℵ0后的下一个无穷量便是c,即c=ℵ1(ℵ1即ℵ0后一个无穷量),这就是著名的“连续统假说”。1900年世界数学家大会上,希尔伯特把这个问题排在了20世纪23大有待解决的重要百思特网数学问题之首。


NO.6 数轴上见分晓!


关于数轴,我们都知道数轴上的点与实数是一一对应的,或许会存在这样的想法,任意两个有理数之间还存在无数个有理数,此外有理数与有理数之间还会有缝隙,那便是无理数,这个缝隙有多少并不为我们所知,但两有理数之间还存在着无数个有理数是必然的。


所以有人会说有理数像砖,构成了数轴百思特网的主体,无理数像是胶水,把砖与砖之间的缝隙补充完整,构成一条完整的数轴。


从两者的数量对比来看,显然以上的想法大错特错,无理数更像是构成数轴的砖,占据着数轴的绝大部分。说来说去其实就是这么一个问题:有理数和无理数在数轴上是如何分布的?


借用一下狄利克雷函数:

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这就是把有理数与无理数作个分离,那函数图像长啥样?也许是这样?

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显然这只能是一种美好的想象,要是能画出来就好了,我就知道有理数和无理数如何分布了。真实存在却画不出来说得就是这个函数,数轴上见不了分晓。


NO.7 可数无穷的可加性


说了老半天可数与不可数,却连数轴上的都无法作划分,区别这两个无穷又有什么意义?


有些时候是得区分一下的,比如在解释什么叫长度的时候。


线段由点构成,那为什么点的长度为0而线段长度却不为0?


造成这一误解的主要原因是我们错误地以为既然线段由点构成,那线段的长度就等于点的长度之和。即不断地计算0+0+0+0+……,按这么算结果应该始终为0才对。


怎么去计算0+0+0+0+……?先用第一个0加第二个0,再用结果加第三个0,一直这么加下去,以上计算的前提是这里所涉及的无穷必须是可数无穷,只有能先够把它们都先列出来,才能依次进行相加,先有可数才有可加。


然而问题是,线段上的点是可数无穷吗?不,它们是不可数无穷,是不能够列举出的,所以0+0+0+……的结果与线段的长度没有半毛钱关系,因为它们本来就不存在因果关系。


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